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2019年上饶师范学院专升本《数学分析》考试大纲

2019-09-29 13:55:59| 来源:上饶师范学院

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一、总要求

考生应按本大纲的要求,了解或理解数学分析中的函数、极限和连续、实数的基本理论、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数的基本概念与基本理论;学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运用分为“会”、“掌握”、和“熟练掌握”三个层次。

二、教材

《数学分析》(上、下),华东师范大学数学系编(第三版),高等教育出版社

三、内容

一、函数、极限和连续

(1)函数

1.知识范围

(1)函数的概念

函数的定义 函数的表示法 分段函数

(2)函数的简单性质

单调性` 奇偶性 有界性 周期性

(3)反函数

反函数的定义 反函数的图像

(4)函数的四则运算与复合运算

(5)基本初等函数

幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

(6)初等函数

2.要求

(1)理解函数的概念。学会函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数的图像。

(2)理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性,会判断函数的类型。

(3)理解和掌握函数的四则运算与复合运算,熟练掌握复合函数的复合过程。

(4)掌握基本初等函数的简单性质及图像。

(5)掌握初等函数的概念。

(6)会建立简单实际问题的函数关系式。

(二)极限

1.知识范围

(1)数列极限的概念

数列、数列极限的ε-N定义

(2)数列极限的性质

唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界定理

(3)函数极限的概念

函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷时函数的极限,函数的几何意义

(4)函数极限的定理

唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理

(5)无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量的阶的比较

(6)两个重要的极限

2.要求

(1)理解极限的概念,能根据极限的概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左、右极限,理解函数在一点处极限存在的充分必要条件

(2)理解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量的阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。

(4)熟练掌握用两个重要的极限求极限的方法

(三)连续

1.知识范围

(1)函数连续的概念

函数在一点处连续的定义,左连续与右连续,函数在一点处连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类

(2)函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算,复合函数连续性,反函数的连续性

(3)闭区间上连续函数的性质

有界性定理,最大值与最小值定理,介值性定理

(4)初等函数的连续性

2.要求

(1)理解函数在一点连续与间断的概念,掌握判断函数在一点的连续性,理解函数在一点连续与极限存在的关系

(2)会求函数的间断点及确定其类型

(3)掌握在闭区间上连续函数的性质,会运用介值定理推证一些简单命题

(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性,并会利用连续性求极限

二、一元函数微分学

(一) 导数与微分

1.知识范围

(1)导数的概念

导数的定义,左导数,右导数,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系

(2)求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算,反函数的导数,导数的基本公式

(3)求导方法

复合函数的求导法,隐函数的求导法,对数求导法,由参数方程确定的函数的求导法,求分段函数的导数

(4)高阶导数的概念

高阶导数的定义及计算

(5)微分

微分的定义,微分与导数的关系,微分法则,一阶微分形式的不变性

2.要求

(1)理解导数的概念及其几何意义,可导性与连续性的关系,会运用定义求函数在一点处的导数

(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程

(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数和反函数求导方法

(4)掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数

(5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数

(6)理解函数和微分概念,掌握微分法则,掌握微分与可导的关系,会求一阶微分

(二)中值定理及导数的应用

1.知识范围

(1)中值定理

罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理

(2)洛必达法则

(3)函数增减性的判定法

(4)函数的极值与极值点 最大值与最小值

(5)曲线的凹凸性、拐点

(6)曲线的渐近线

(7)泰勒公式

2.要求

(1)理解罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它们的几何意义,会用它们证明根的存在性和简单的不等式,

(2)熟练掌握用洛必达法则求“

 

 

”“

 

 

”“

 

 

”“

 

 

”“

 

 

”“

 

 

”型未定式的极限的方法

(3)熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法,会用函数的单调性证明简单不等式

(4)理解函数极值的概念。掌握求函数的极值和最值的方法,并会解简单的应用问题

(5)会判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点

(6)会作简单函数的图形

(7)理解函数的泰勒公式,泰勒公式的拉格朗日型余项,掌握几个基本初等函数的泰勒公式

三、一元函数积分学

(一)不定积分

1.知识范围

(1)不定积分的概念

原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质

(2)基本积分公式

(3)换元积分法

第一换元法,第二换元法

(4)分部积分法

(5)一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分

2.要求

(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在性定理

(2)熟练掌握不定积分的基本公式

(3)熟练掌握不定积分的第一换元法,掌握第二换元法

(4)熟练掌握不定积分的分部积分法

(5)会求简单有理函数的不定积分

(二)定积分

1.知识范围

(1)定积分的概念

定积分的定义及几何意义,可积的必要条件和充分条件 可积函数类

(2)定积分的性质

(3)微积分学基本定理

(4)换元积分法与分部积分法

(5)泰勒公式的积分型余项

(6)广义积分的概念 广义积分的收敛性判别法

(7)定积分的应用

2.要求

(1)理解定积分的概念及其几何意义,掌握定积分的积分和、上和、下和的概念,定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件

(2)掌握定积分的基本性质

(3)掌握变上限定积分是变上限的函数,掌握对变上限定积分的求导方法

(4)掌握牛顿---莱布尼茨公式

(5)掌握定积分的换元积分法和分部积分法

(6)理解无穷限广义积分和无界函数广义积分的概念及几何意义

(7)掌握非负函数广义积分收敛性的比较判别法,了解阿贝尔和狄里克莱判别法

(8)掌握定积分在几何计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积、和物理上计算压力、功、重心等简单应用

四、实数完备性理论的知识

1.知识范围

(1)实数完备性的基本定理

(2)闭区间上连续函数性质的证明

2.要求

(1)了解实数系的构造理论

(2)理解实数完备性定理的各个定理:区间套定理 柯西收敛准则,有限覆盖定理,聚点定理,确界原理,单调有界性定理和这些定理的等价性

(3)理解闭区间上连续函数性质的证明

(4)了解实数完备性定理在证明数学命题中的应用

五、多元函数微分学

(一)多元函数微分学

1.知识范围

(1)多元函数

平面点集,

 

 

上的完备性定理,多元函数的定义,二元函数的定义域,二元函数的几何意义,二元函数极限,累次极限,二元函数的连续性概念,有界闭区域上连续函数的性质

(2)可微性,偏导数与全微分,偏导数,全微分的概念,可微性的几何意义与应用

(3)复合函数的求导法则 复合函数的全微分

(4)方向导数与梯度

(5)高阶偏导数,中值定理和泰勒公式,极值问题

(6)隐函数概念,隐函数存在性条件的分析,隐函数定理 隐函数的求导,隐函数组概念 隐函数组定理,反函数组与坐标变换

(7)平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线

(8)条件极值

2.要求

(1)了解平面点集,

 

 

上的完备性定理,多元函数的定义,二元函数的定义域,二元函数的几何意义,二元函数极限,累次极限,二元函数的连续性概念,有界闭区域上连续函数的性质

(2)掌握偏导数、全微分的概念,可微性的几何意义与应用

(3)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算,掌握复合函数偏导数和全微分的计算

(4)掌握方向导数,梯度的计算,了解隐函数定理,掌握隐函数及隐函数组的的微分的计算

(5)掌握平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的方程的计算

(6)了解二元函数泰勒公式,熟练掌握二元函数的无条件极值的计算,掌握条件极值的拉格朗日乘数法

六、多元函数积分学

1.知识范围

(1)二重积分的概念,二重积分的可积条件,一般区域上的二重积分,二重积分的计算,二重积分的换元法,含参量积分的导数

(2)三重积分的概念,化三重积分为累次积分,三重积分的换元法

(3)重积分的应用,曲面的面积,重积分在物理学上的应用

(4)第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念,第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算

(5)第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念,第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

(6)格林公式,曲线积分与路径的无关性

(7)高斯公式,斯托克斯公式

2.要求

(1)了解二重积分的概念、二重积分的可积条件、一般区域上的二重积分,熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算,掌握二重积分的换元法、含参量积分的导数

(2)了解三重积分的概念,掌握直角坐标下化三重积分为累次积分

(3)了解第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念,掌握第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算,了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念,掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

(4)了解格林公式,曲线积分与路径的无关性

(5)了解高斯公式,知道斯托克斯公式

七、无穷级数

(一)数项级数

1.知识范围

(1)数项级数的概念,级数的收敛与发散,级数的基本知识,级数收敛的必要条件

(2)正项级数敛散性判别法,比较判别法,比值判别法

(3)任意项级数,交错级数,绝对收敛,条件收敛,莱布尼兹判别法

2.要求

(1)了解数项级数的概念,级数的收敛与发散,级数的基本知识,级数收敛的必要条件

(2)熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法

(3)了解任意项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念

(4)掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法.

(三)幂级数

1.知识范围

(1)幂级数收敛区间

(2)幂级数的性质

(3)幂级数的运算

(4)泰勒级数与初等函数的幂级数展开式

2.要求

(1)了解幂级数、幂级数的收敛半径、收敛区间的概念

(2)了解幂级数在收敛区间内的性质(和、差、逐项求导、逐项积分)

(3)掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的的求法

 

(4)会运用基本初等函数的麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为幂级数

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