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2019年上饶师范学院专升本《高等代数》考试大纲

2019-09-29 11:35:42| 来源:上饶师范学院

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一、考试基本要求:

1. 掌握基本的代数运算方法,包括:行列式的计算,矩阵运算(乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量),线性方程组解的判定及求解,多项式运算(带余除法,辗转相除法,综合除法)等。

2. 掌握基本的代数分析技巧,包括:向量的线性相关和线性无关性,向量空间的基与维数,线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系,方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型,一元多项式的整除性及因式分解。

3. 掌握代数的基本几何背景,理解代数与几何的关系,包括:欧氏空间,正交变换与正交矩阵,对称变换与对称矩阵。

一、考试内容

第一部分 多项式

1. 一元多项式的定义和基本运算;

2. 多项式的带余除法与综合除法,多项式整除性的常用性质;

3. 多项式的最大公因式概念及性质,辗转相除法;

4. 不可约多项式的概念及性质,多项式的唯一因式分解定理,多项式的重因式;

5. 多项式函数与多项式的根的概念及性质;

6. 代数基本定理,复数域和实数域上多项式的因式分解定理,Vieta定理;

7. 整系数多项式的有理根,Eisenstein判别法;

第二部分 行列式

1. 线性方程组和行列式的关系,排列、n阶行列式及其子式和代数余子式;

2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法;

3. 克拉默法则;

第三部分 线性方程组

1. 线性方程组求解的消元法;

2. 向量组线性相关、线性无关的定义,向量组线性相关性的判定条件和性质,向量组的极大无关组;

3. 向量空间的基与维数;

4. 线性方程组可解的判别法;

5. 齐次线性方程组的解空间与基础解系;线性方程组的结构式通解;

6. 矩阵的秩的概念,用矩阵的初等变换求秩;

第四部分 矩阵

1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则;

2. 逆矩阵概念,矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质,求可逆矩阵的逆矩阵的方法;

3. 矩阵的分块法,分块矩阵的运算法则;

第五部分 二次型

1. 二次型与对称矩阵,矩阵的合同关系;

2. 复数域和实数域上的二次型,用正交变换化实二次型为标准形的方法;

3. 正定二次型与正定矩阵,实对称矩阵正定的判定条件和性质;

第六部分 线性空间

1. 向量空间线性映射概念及其相关性质;

2. 线性变换的运算和矩阵的相似关系;

3. 子空间、不变子空间及其性质;

4. 子空间的直和;

5. 线性空间的同构及其性质;

第七部分 线性变换

1. 线性变换的定义及其运算;

2. 过渡矩阵及坐标变换式;

3. 方阵的特征值和特征向量;

4. 可以对角化的矩阵;

5. 线性变换的值域和核;

6. 不变子空间的定义及性质;

第八部分 欧几里得空间

1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt

正交化方法;

2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质;

3. 对称变换与实对称矩阵,实对称矩阵的正交相似对角化。

参考文献

1. 北京大学数学系 《高等代数》(第四版) 高等教育出版社 2013

2. 张禾瑞,郝鈵新 《高等代数》(第四版) 高等教育出版社 1999

 

3. 丘维声 《高等代数》(第二版) 高等教育出版社 2003

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